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Finding some differentials and derivatives of x⁴.

To give an example in a non-comm-mult algebra, we start with the following formula in table A, where y is a function of x:

table A
y =	x · x · x · x

Table B shows the first differential, which comes from a routine application of the multiplication formula:

table B — 4 addends
dy =	x · x · x · dx	x · x · dx · x	x · dx · x · x	dx · x · x · x

We claim that this, as an implicit function, should also be regarded as the first derivative of y with respect to x. If the algebra were comm-mult, the usual kind of derivative would be produced, as on the main page.

The second differential is lengthy but simple to calculate:

table C: differential expansion — 16 addends
d2y =	x · x · x · d2x	x · x · dx · dx	x · dx · x · dx	dx · x · x · dx
	x · x · dx · dx	x · x · d2x · x	x · dx · dx · x	dx · x · dx · x
	x · dx · x · dx	x · dx · dx · x	x · d2x · x · x	dx · dx · x · x
	dx · x · x · dx	dx · x · dx · x	dx · dx · x · x	d2x · x · x · x

table D: differential simplification — 10 addends
d2y =	x · x · x · d2x	x · x · d2x · x	x · d2x · x · x	d2x · x · x · x
	2 · x · x · dx · dx	2 · x · dx · x · dx	2 · dx · x · x · dx	2 · x · dx · dx · x	2 · dx · x · dx · x	2 · dx · dx · x · x

In finding the derivative of y with respect to x, it is expected that dx be small. It follows that d²x and higher differentials of x will become vashingingly small; this leads to the setting of d²x equal to zero. Simplification then yields the derivative:

table E: derivative — 6 addends
d2y =	2 · x · x · dx · dx	2 · x · dx · x · dx	2 · dx · x · x · dx	2 · x · dx · dx · x	2 · dx · x · dx · x	2 · dx · dx · x · x

Table F comes from irrespectfully differentiating table D. The addends are placed in groups to help show how table G comes from table F:

table F: differential expansion — 40 addends
d3y =	x · x · x · d3x	x · x · d3x · x	x · d3x · x · x	d3x · x · x · x	group I
	x · x · dx · d2x	x · dx · x · d2x	dx · x · x · d2x	x · dx · d2x · x	dx · x · d2x · x	dx · d2x · x · x	group II
	x · x · d2x · dx	x · d2x · x · dx	d2x · x · x · dx	x · d2x · dx · x	d2x · x · dx · x	d2x · dx · x · x
	2 · x · x · dx · d2x	2 · x · dx · x · d2x	2 · dx · x · x · d2x	2 · x · dx · d2x · x	2 · dx · x · d2x · x	2 · dx · d2x · x · x	group III
	2 · x · x · d2x · dx	2 · x · d2x · x · dx	2 · d2x · x · x · dx	2 · x · d2x · dx · x	2 · d2x · x · dx · x	2 · d2x · dx · x · x
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x	group IV
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x

See also condensed version of table F.

table G: differential simplification — 20 addends
d3y =	x · x · x · d3x	x · x · d3x · x	x · d3x · x · x	d3x · x · x · x	group I
	3 · x · x · dx · d2x	3 · x · dx · x · d2x	3 · dx · x · x · d2x	3 · x · dx · d2x · x	3 · dx · x · d2x · x	3 · dx · d2x · x · x	groups II + III
	3 · x · x · d2x · dx	3 · x · d2x · x · dx	3 · d2x · x · x · dx	3 · x · d2x · dx · x	3 · d2x · x · dx · x	3 · d2x · dx · x · x
	6 · x · dx · dx · dx	6 · dx · x · dx · dx	6 · dx · dx · x · dx	6 · dx · dx · dx · x	group IV

Now set d³x = d²x = 0:

table H: derivative — 4 addends
d3y =	6 · x · dx · dx · dx	6 · dx · x · dx · dx	6 · dx · dx · x · dx	6 · dx · dx · dx · x

In a non-comm-mult environment, if the goal is merely to find the derivative of a function, and the differentials are not required, considerable simplification is possible: any term containing the factor dⁿx for n ≥ 2 can be immediately discarded. In the tables below, they are shown on a gray background the first time they appear.

table A as before
y =	x · x · x · x

The first differential:

table B as before
dy =	x · x · x · dx	x · x · dx · x	x · dx · x · x	dx · x · x · x

The second differential:

table C*: differential expansion — 16 addends variant of table C
d2y =	x · x · x · d2x	x · x · dx · dx	x · dx · x · dx	dx · x · x · dx
	x · x · dx · dx	x · x · d2x · x	x · dx · dx · x	dx · x · dx · x
	x · dx · x · dx	x · dx · dx · x	x · d2x · x · x	dx · dx · x · x
	dx · x · x · dx	dx · x · dx · x	dx · dx · x · x	d2x · x · x · x

from which:

table D*E: differential simplification, and derivative variant of table D same as table E
d2y =	2 · x · x · dx · dx	2 · x · dx · x · dx	2 · dx · x · x · dx	2 · x · dx · dx · x	2 · dx · x · dx · x	2 · dx · dx · x · x

Table F* comes from irrespectfully differentiating table D*E. The addends are placed in groups as in tables F and G:

table F*: differential expansion variant of table F
d3y =	x · x · dx · d2x	x · dx · x · d2x	dx · x · x · d2x	x · dx · d2x · x	dx · x · d2x · x	dx · d2x · x · x	group II
	x · x · d2x · dx	x · d2x · x · dx	d2x · x · x · dx	x · d2x · dx · x	d2x · x · dx · x	d2x · dx · x · x
	2 · x · x · dx · d2x	2 · x · dx · x · d2x	2 · dx · x · x · d2x	2 · x · dx · d2x · x	2 · dx · x · d2x · x	2 · dx · d2x · x · x	group III
	2 · x · x · d2x · dx	2 · x · d2x · x · dx	2 · d2x · x · x · dx	2 · x · d2x · dx · x	2 · d2x · x · dx · x	2 · d2x · dx · x · x
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x	group IV
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x
	2 · x · dx · dx · dx	2 · dx · x · dx · dx	2 · dx · dx · x · dx	2 · dx · dx · dx · x

from which:

table G*H: differential simplification, and derivative variant of table G same as table H
d3y =	6 · x · dx · dx · dx	6 · dx · x · dx · dx	6 · dx · dx · x · dx	6 · dx · dx · dx · x	group IV

Further, d⁴y = 24 · dx · dx · dx · dx. Beyond that, every addend of the differential of d⁵y would contain a d²x factor, leading to a zero value for the corresponding derivative.

Table F could be rewritten using exponents for the powers, as below, but under non-comm-mult little no great condensation results.

table F condensed: differential expansion
d3y =	x3 · d3x	x · x · d3x · x	x · d3x · x2	d3x · x3	group I
	x · x · dx · d2x	x · dx · x · d2x	dx · x2 · d2x	x · dx · d2x · x	dx · x · d2x · x	dx · d2x · x2	group II
	x · x · d2x · dx	x · d2x · x · dx	d2x · x2 · dx	x · d2x · dx · x	d2x · x · dx · x	d2x · dx · x2
	2 · x2 · dx · d2x	2 · x · dx · x · d2x	2 · dx · x2 · d2x	2 · x · dx · d2x · x	2 · dx · x · d2x · x	2 · dx · d2x · x2	group III
	2 · x2 · d2x · dx	2 · x · d2x · x · dx	2 · d2x · x2 · dx	2 · x · d2x · dx · x	2 · d2x · x · dx · x	2 · d2x · dx · x2
	2 · x · dx3	2 · dx · x · dx2	2 · dx2 · x · dx	2 · dx3 · x	group IV
	2 · x · dx3	2 · dx · x · dx2	2 · dx2 · x · dx	2 · dx3 · x
	2 · x · dx3	2 · dx · x · dx2	2 · dx2 · x · dx	2 · dx3 · x