Higher differentials of x⁻¹ are elementary to calculate. However, they are bulky, and that is why they are shown here instead on the main page. First are covered the non-comm-mult versions in detail, followed by the comm-mult in brief. In some tables below, selected expressions are color-coded to show the connection from one differential to the next.

d(x⁻¹) = − x⁻¹ · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) = − x⁻¹ · dx · d(x⁻¹)

− x⁻¹ · d(dx) · x⁻¹

− d(x⁻¹) · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) = − x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

− x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) = + x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

Combine similar terms:

d²(x⁻¹) = + 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d²x · x⁻¹

In finding d³(x⁻¹), the first term of d²(x⁻¹) expands 5 ways, and the second term 3 ways:

d³(x⁻¹) = + 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 2 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹

+ 2 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 2 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

− x⁻¹ · d³x · x⁻¹

− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹

d³(x⁻¹) = − 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 2 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d³x · x⁻¹

+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

Combine similar terms:

d³(x⁻¹) = − 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d³x · x⁻¹

In finding d⁴(x⁻¹), the first term of d³(x⁻¹) expands 7 ways, the second and third terms 5 ways, the fourth term 3 ways. The challenge is in keeping everything organized; the calculus is simple.

d⁴(x⁻¹) = − 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 3 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d³x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)

− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹

− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d³x · x⁻¹

d⁴(x⁻¹) = + 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 3 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹

+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹

Combine similar terms:

d⁴(x⁻¹) = + 24 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 12 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

− 12 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− 12 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

+ 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

+ 4 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹

+ 4 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹

− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹

To find d⁵(x⁻¹) would entail a 48-term expansion of d⁴(x⁻¹). Such a project calls for computer assistance.

There is some simplification under comm-mult:

d(x⁻¹) = − x⁻² · dx

d²(x⁻¹) = + 2 · x⁻³ · dx²

− x⁻² · d²x

d³(x⁻¹) = − 6 · x⁻⁴ · dx³

+ 6 · x⁻³ · dx · d²x

− x⁻² · d³x

d⁴(x⁻¹) = + 24 · x⁻⁵ · dx⁴

− 36 · x⁻⁴ · dx² · d²x

+ 6 · x⁻³ · (d²x)²

+ 8 · x⁻³ · dx · d³x

− x⁻² · d⁴x

d²(x⁻¹) =	− x⁻¹ · dx · d(x⁻¹)
	− x⁻¹ · d(dx) · x⁻¹
	− d(x⁻¹) · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) =	− x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	− x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) =	+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹

d²(x⁻¹) =	+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d²x · x⁻¹

d³(x⁻¹) =	+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 2 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹
	+ 2 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 2 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	− x⁻¹ · d³x · x⁻¹
	− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹

d³(x⁻¹) =	− 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 2 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 2 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d³x · x⁻¹
	+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹

d³(x⁻¹) =	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d³x · x⁻¹

d⁴(x⁻¹) =	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 3 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d³x · (− x⁻¹ · dx · x⁻¹)
	− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹
	− (− x⁻¹ · dx · x⁻¹) · d³x · x⁻¹

d⁴(x⁻¹) =	+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 6 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 3 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 3 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹
	+ x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹

d⁴(x⁻¹) =	+ 24 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 12 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	− 12 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− 12 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	+ 6 · x⁻¹ · d²x · x⁻¹ · d²x · x⁻¹
	+ 4 · x⁻¹ · dx · x⁻¹ · d³x · x⁻¹
	+ 4 · x⁻¹ · d³x · x⁻¹ · dx · x⁻¹
	− x⁻¹ · d⁴x · x⁻¹

d(x⁻¹) =	− x⁻² · dx
d²(x⁻¹) =	+ 2 · x⁻³ · dx²
d²(x⁻¹) =	− x⁻² · d²x
d³(x⁻¹) =	− 6 · x⁻⁴ · dx³
	+ 6 · x⁻³ · dx · d²x
	− x⁻² · d³x
d⁴(x⁻¹) =	+ 24 · x⁻⁵ · dx⁴
	− 36 · x⁻⁴ · dx² · d²x
	+ 6 · x⁻³ · (d²x)²
	+ 8 · x⁻³ · dx · d³x
	− x⁻² · d⁴x