Home.

Each column concisely defines a 3-dimensional cross product in 8 dimensions. Column p01 is the baseline function given on the main page, which uses the sign pattern designated s01.

In all, this table contains 30 functions. One might expect to have 8! different functions, but many permutative operations turn out to be identities. For instance, if in p01 all the 0's are exchanged with 1's, and all the 6's are exchanged with 7's, the result is p01 itself. Another way to see this: there are at least two ways to convert p01 into p02: either exchange all the 0's and 1's, or exchange all the 6's and 7's.

The green and red colorations serve only to make the rows and columns easier to follow.

permutation table	permutation designator
	p01	p02	p03	p04	p05	p06	p07	p08	p09	p10	p11	p12	p13	p14	p15	p16	p17	p18	p19	p20	p21	p22	p23	p24	p25	p26	p27	p28	p29	p30
U0 × U1 × U2 =	+U3	+U3	+U3	+U3	+U3	+U3	+U4	+U4	+U4	+U4	+U4	+U4	+U5	+U5	+U5	+U5	+U5	+U5	+U6	+U6	+U6	+U6	+U6	+U6	+U7	+U7	+U7	+U7	+U7	+U7
U0 × U1 × U3 =	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	+U5	+U5	+U6	+U6	+U7	+U7	−U4	−U4	+U7	−U7	−U6	+U6	+U7	−U7	−U4	−U4	+U5	−U5	−U6	+U6	−U5	+U5	−U4	−U4
U0 × U1 × U4 =	+U5	+U5	+U6	+U6	+U7	+U7	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	+U3	+U3	+U6	+U6	+U7	+U7	+U5	+U5	+U3	+U3	+U7	+U7	+U5	+U5	+U6	+U6	+U3	+U3
U0 × U1 × U5 =	−U4	−U4	+U7	−U7	−U6	+U6	−U3	−U3	+U7	−U7	−U6	+U6	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U4	−U4	+U7	−U7	−U3	+U3	−U4	−U4	+U3	−U3	−U6	+U6
U0 × U1 × U6 =	+U7	−U7	−U4	−U4	+U5	−U5	+U7	−U7	−U3	−U3	+U5	−U5	+U7	−U7	−U4	−U4	+U3	−U3	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	+U3	−U3	−U4	−U4	+U5	−U5
U0 × U1 × U7 =	−U6	+U6	−U5	+U5	−U4	−U4	−U6	+U6	−U5	+U5	−U3	−U3	−U6	+U6	−U3	+U3	−U4	−U4	−U3	+U3	−U5	+U5	−U4	−U4	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2	−U2
U0 × U2 × U3 =	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U6	+U7	+U5	+U7	+U6	+U5	−U7	−U6	−U4	+U6	+U7	−U4	−U4	+U5	−U7	−U5	−U4	+U7	+U5	−U4	+U6	−U4	−U5	−U6
U0 × U2 × U4 =	+U6	+U7	+U5	+U7	+U6	+U5	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U6	+U7	+U3	+U7	+U6	+U3	+U3	+U7	+U5	+U7	+U3	+U5	+U6	+U3	+U5	+U3	+U6	+U5
U0 × U2 × U5 =	−U7	−U6	−U4	+U6	+U7	−U4	−U7	−U6	−U3	+U6	+U7	−U3	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	−U7	−U3	−U4	+U3	+U7	−U4	−U3	−U6	−U4	+U6	+U3	−U4
U0 × U2 × U6 =	−U4	+U5	−U7	−U5	−U4	+U7	−U3	+U5	−U7	−U5	−U3	+U7	−U4	+U3	−U7	−U3	−U4	+U7	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	−U4	+U5	−U3	−U5	−U4	+U3
U0 × U2 × U7 =	+U5	−U4	+U6	−U4	−U5	−U6	+U5	−U3	+U6	−U3	−U5	−U6	+U3	−U4	+U6	−U4	−U3	−U6	+U5	−U4	+U3	−U4	−U5	−U3	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1	+U1
U0 × U3 × U4 =	−U7	−U6	−U7	−U5	−U5	−U6	+U7	+U6	+U7	+U5	+U5	+U6	−U1	−U1	−U2	+U5	+U5	−U2	−U2	+U6	−U1	−U1	−U2	+U6	+U7	−U2	+U7	−U2	−U1	−U1
U0 × U3 × U5 =	−U6	−U7	+U6	+U4	+U4	+U7	+U1	+U1	+U2	−U4	−U4	+U2	+U6	+U7	−U6	−U4	−U4	−U7	+U6	+U2	−U6	−U2	+U1	−U1	+U2	+U7	−U1	+U1	−U2	−U7
U0 × U3 × U6 =	+U5	+U4	−U5	−U7	+U7	+U4	+U2	−U4	+U1	+U1	+U2	−U4	−U5	−U2	+U5	+U2	−U1	+U1	−U5	−U4	+U5	+U7	−U7	−U4	−U1	+U1	+U2	+U7	−U7	−U2
U0 × U3 × U7 =	+U4	+U5	+U4	+U6	−U6	−U5	−U4	+U2	−U4	+U2	+U1	+U1	−U2	−U5	+U1	−U1	+U2	+U5	+U1	−U1	−U2	−U6	+U6	+U2	−U4	−U5	−U4	−U6	+U6	+U5
U0 × U4 × U5 =	+U1	+U1	+U2	−U3	−U3	+U2	−U6	−U7	+U6	+U3	+U3	+U7	+U7	+U6	+U7	+U3	+U3	+U6	+U1	+U1	+U2	−U6	−U6	+U2	+U1	+U1	+U2	−U7	−U7	+U2
U0 × U4 × U6 =	+U2	−U3	+U1	+U1	+U2	−U3	+U5	+U3	−U5	−U7	+U7	+U3	+U2	−U5	+U1	+U1	+U2	−U5	+U7	+U3	+U7	+U5	+U5	+U3	+U2	−U7	+U1	+U1	+U2	−U7
U0 × U4 × U7 =	−U3	+U2	−U3	+U2	+U1	+U1	+U3	+U5	+U3	+U6	−U6	−U5	−U5	+U2	−U5	+U2	+U1	+U1	−U6	+U2	−U6	+U2	+U1	+U1	+U3	+U6	+U3	+U5	+U5	+U6
U0 × U5 × U6 =	−U3	−U2	+U3	+U2	−U1	+U1	−U4	−U2	+U4	+U2	−U1	+U1	+U3	+U4	−U3	−U7	+U7	+U4	+U3	+U7	−U3	−U4	−U4	−U7	−U7	−U2	+U7	+U2	−U1	+U1
U0 × U5 × U7 =	−U2	−U3	+U1	−U1	+U2	+U3	−U2	−U4	+U1	−U1	+U2	+U4	+U4	+U3	+U4	+U6	−U6	−U3	−U2	−U6	+U1	−U1	+U2	+U6	+U6	+U3	−U6	−U4	−U4	−U3
U0 × U6 × U7 =	+U1	−U1	−U2	−U3	+U3	+U2	+U1	−U1	−U2	−U4	+U4	+U2	+U1	−U1	−U2	−U5	+U5	+U2	+U4	+U5	+U4	+U3	−U3	−U5	−U5	−U4	+U5	+U3	−U3	−U4
U1 × U2 × U3 =	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	+U7	+U6	+U7	+U5	+U5	+U6	+U6	+U7	−U6	−U4	−U4	−U7	−U5	−U4	+U5	+U7	−U7	−U4	−U4	−U5	−U4	−U6	+U6	+U5
U1 × U2 × U4 =	+U7	+U6	+U7	+U5	+U5	+U6	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	+U7	+U6	+U7	+U3	+U3	+U6	+U7	+U3	+U7	+U5	+U5	+U3	+U3	+U6	+U3	+U5	+U5	+U6
U1 × U2 × U5 =	+U6	+U7	−U6	−U4	−U4	−U7	+U6	+U7	−U6	−U3	−U3	−U7	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	+U3	+U7	−U3	−U4	−U4	−U7	+U6	+U3	−U6	−U4	−U4	−U3
U1 × U2 × U6 =	−U5	−U4	+U5	+U7	−U7	−U4	−U5	−U3	+U5	+U7	−U7	−U3	−U3	−U4	+U3	+U7	−U7	−U4	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U5	−U4	+U5	+U3	−U3	−U4
U1 × U2 × U7 =	−U4	−U5	−U4	−U6	+U6	+U5	−U3	−U5	−U3	−U6	+U6	+U5	−U4	−U3	−U4	−U6	+U6	+U3	−U4	−U5	−U4	−U3	+U3	+U5	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0	−U0
U1 × U3 × U4 =	+U6	+U7	+U5	+U7	+U6	+U5	−U6	−U7	−U5	−U7	−U6	−U5	+U0	+U0	−U5	−U2	−U2	−U5	−U6	−U2	+U0	+U0	−U6	−U2	−U2	−U7	−U2	−U7	+U0	+U0
U1 × U3 × U5 =	−U7	−U6	−U4	+U6	+U7	−U4	−U0	−U0	+U4	+U2	+U2	+U4	+U7	+U6	+U4	−U6	−U7	+U4	−U2	+U6	+U2	−U6	−U0	+U0	+U7	−U2	+U0	−U0	−U7	+U2
U1 × U3 × U6 =	−U4	+U5	−U7	−U5	−U4	+U7	+U4	+U2	−U0	−U0	+U4	+U2	+U2	−U5	−U2	+U5	+U0	−U0	+U4	−U5	+U7	+U5	+U4	−U7	+U0	−U0	+U7	−U2	+U2	−U7
U1 × U3 × U7 =	+U5	−U4	+U6	−U4	−U5	−U6	+U2	+U4	+U2	+U4	−U0	−U0	−U5	+U2	−U0	+U0	+U5	−U2	−U0	+U0	−U6	+U2	−U2	+U6	−U5	+U4	−U6	+U4	+U5	+U6
U1 × U4 × U5 =	−U0	−U0	+U3	+U2	+U2	+U3	−U7	−U6	−U3	+U6	+U7	−U3	−U6	−U7	−U3	−U7	−U6	−U3	−U0	−U0	+U6	+U2	+U2	+U6	−U0	−U0	+U7	+U2	+U2	+U7
U1 × U4 × U6 =	+U3	+U2	−U0	−U0	+U3	+U2	−U3	+U5	−U7	−U5	−U3	+U7	+U5	+U2	−U0	−U0	+U5	+U2	−U3	−U7	−U5	−U7	−U3	−U5	+U7	+U2	−U0	−U0	+U7	+U2
U1 × U4 × U7 =	+U2	+U3	+U2	+U3	−U0	−U0	+U5	−U3	+U6	−U3	−U5	−U6	+U2	+U5	+U2	+U5	−U0	−U0	+U2	+U6	+U2	+U6	−U0	−U0	−U6	−U3	−U5	−U3	−U6	−U5
U1 × U5 × U6 =	+U2	−U3	−U2	+U3	+U0	−U0	+U2	−U4	−U2	+U4	+U0	−U0	−U4	+U3	−U7	−U3	−U4	+U7	+U7	+U3	+U4	−U3	−U7	+U4	+U2	−U7	−U2	+U7	+U0	−U0
U1 × U5 × U7 =	−U3	+U2	−U0	+U0	+U3	−U2	−U4	+U2	−U0	+U0	+U4	−U2	+U3	−U4	+U6	−U4	−U3	−U6	−U6	+U2	−U0	+U0	+U6	−U2	+U3	+U6	+U4	−U6	−U3	+U4
U1 × U6 × U7 =	−U0	+U0	−U3	+U2	−U2	+U3	−U0	+U0	−U4	+U2	−U2	+U4	−U0	+U0	−U5	+U2	−U2	+U5	+U5	−U4	+U3	−U4	−U5	−U3	+U4	−U5	+U3	+U5	+U4	−U3
U2 × U3 × U4 =	−U5	−U5	−U6	−U6	−U7	−U7	+U5	+U5	+U6	+U6	+U7	+U7	+U5	+U5	+U0	+U1	+U1	+U0	+U0	+U1	+U6	+U6	+U0	+U1	+U1	+U0	+U1	+U0	+U7	+U7
U2 × U3 × U5 =	+U4	+U4	−U7	+U7	+U6	−U6	−U4	−U4	−U0	−U1	−U1	−U0	−U4	−U4	+U7	−U7	−U6	+U6	+U1	−U0	−U1	+U0	−U6	+U6	−U0	+U1	+U7	−U7	+U0	−U1
U2 × U3 × U6 =	−U7	+U7	+U4	+U4	−U5	+U5	−U0	−U1	−U4	−U4	−U0	−U1	−U1	+U0	+U1	−U0	+U5	−U5	+U7	−U7	−U4	−U4	+U5	−U5	+U7	−U7	−U0	+U1	−U1	+U0
U2 × U3 × U7 =	+U6	−U6	+U5	−U5	+U4	+U4	−U1	−U0	−U1	−U0	−U4	−U4	+U0	−U1	−U5	+U5	−U0	+U1	−U6	+U6	+U0	−U1	+U1	−U0	−U6	+U6	−U5	+U5	−U4	−U4
U2 × U4 × U5 =	−U3	−U3	−U0	−U1	−U1	−U0	+U3	+U3	−U7	+U7	+U6	−U6	+U3	+U3	+U6	+U6	+U7	+U7	−U6	−U6	−U0	−U1	−U1	−U0	−U7	−U7	−U0	−U1	−U1	−U0
U2 × U4 × U6 =	−U0	−U1	−U3	−U3	−U0	−U1	−U7	+U7	+U3	+U3	−U5	+U5	−U0	−U1	−U5	−U5	−U0	−U1	+U5	+U5	+U3	+U3	+U7	+U7	−U0	−U1	−U7	−U7	−U0	−U1
U2 × U4 × U7 =	−U1	−U0	−U1	−U0	−U3	−U3	+U6	−U6	+U5	−U5	+U3	+U3	−U1	−U0	−U1	−U0	−U5	−U5	−U1	−U0	−U1	−U0	−U6	−U6	+U5	+U5	+U6	+U6	+U3	+U3
U2 × U5 × U6 =	−U1	+U0	+U1	−U0	+U3	−U3	−U1	+U0	+U1	−U0	+U4	−U4	−U7	+U7	+U4	+U4	−U3	+U3	−U4	−U4	+U7	−U7	−U3	+U3	−U1	+U0	+U1	−U0	+U7	−U7
U2 × U5 × U7 =	+U0	−U1	−U3	+U3	−U0	+U1	+U0	−U1	−U4	+U4	−U0	+U1	+U6	−U6	+U3	−U3	+U4	+U4	+U0	−U1	−U6	+U6	−U0	+U1	−U4	−U4	+U3	−U3	−U6	+U6
U2 × U6 × U7 =	−U3	+U3	+U0	−U1	+U1	−U0	−U4	+U4	+U0	−U1	+U1	−U0	−U5	+U5	+U0	−U1	+U1	−U0	+U3	−U3	+U5	−U5	+U4	+U4	+U3	−U3	−U4	−U4	+U5	−U5
U3 × U4 × U5 =	+U2	+U2	−U1	+U0	+U0	−U1	−U2	−U2	+U1	−U0	−U0	+U1	−U2	−U2	+U1	−U0	−U0	+U1	−U7	+U7	+U7	−U7	+U7	−U7	+U6	−U6	−U6	+U6	−U6	+U6
U3 × U4 × U6 =	−U1	+U0	+U2	+U2	−U1	+U0	+U1	−U0	−U2	−U2	+U1	−U0	+U7	−U7	−U7	+U7	−U7	+U7	+U1	−U0	−U2	−U2	+U1	−U0	−U5	+U5	+U5	−U5	+U5	−U5
U3 × U4 × U7 =	+U0	−U1	+U0	−U1	+U2	+U2	−U0	+U1	−U0	+U1	−U2	−U2	−U6	+U6	+U6	−U6	+U6	−U6	+U5	−U5	−U5	+U5	−U5	+U5	−U0	+U1	−U0	+U1	−U2	−U2
U3 × U5 × U6 =	+U0	+U1	−U0	−U1	−U2	+U2	−U7	+U7	+U7	−U7	+U7	−U7	−U0	−U1	+U0	+U1	+U2	−U2	−U0	−U1	+U0	+U1	+U2	−U2	+U4	−U4	−U4	+U4	−U4	+U4
U3 × U5 × U7 =	+U1	+U0	+U2	−U2	−U1	−U0	+U6	−U6	−U6	+U6	−U6	+U6	−U1	−U0	−U2	+U2	+U1	+U0	−U4	+U4	+U4	−U4	+U4	−U4	−U1	−U0	−U2	+U2	+U1	+U0
U3 × U6 × U7 =	+U2	−U2	+U1	+U0	−U0	−U1	−U5	+U5	+U5	−U5	+U5	−U5	+U4	−U4	−U4	+U4	−U4	+U4	−U2	+U2	−U1	−U0	+U0	+U1	−U2	+U2	−U1	−U0	+U0	+U1
U4 × U5 × U6 =	−U7	+U7	+U7	−U7	+U7	−U7	+U0	+U1	−U0	−U1	−U2	+U2	+U1	−U0	−U2	−U2	+U1	−U0	+U2	+U2	−U1	+U0	+U0	−U1	−U3	+U3	+U3	−U3	+U3	−U3
U4 × U5 × U7 =	+U6	−U6	−U6	+U6	−U6	+U6	+U1	+U0	+U2	−U2	−U1	−U0	−U0	+U1	−U0	+U1	−U2	−U2	+U3	−U3	−U3	+U3	−U3	+U3	+U2	+U2	−U1	+U0	+U0	−U1
U4 × U6 × U7 =	−U5	+U5	+U5	−U5	+U5	−U5	+U2	−U2	+U1	+U0	−U0	−U1	−U3	+U3	+U3	−U3	+U3	−U3	−U0	+U1	−U0	+U1	−U2	−U2	−U1	+U0	+U2	+U2	−U1	+U0
U5 × U6 × U7 =	+U4	−U4	−U4	+U4	−U4	+U4	+U3	−U3	−U3	+U3	−U3	+U3	+U2	−U2	+U1	+U0	−U0	−U1	−U1	−U0	−U2	+U2	+U1	+U0	+U0	+U1	−U0	−U1	−U2	+U2